摘要: 原標題：天才美少女的開掛人生，首次揭曉！11歲自學微積分，17歲推翻40年難題 11歲自學掌握微積分，14歲便已達到本科水平，17歲成功破解40年未解猜想。
原標題：天才美少女的開掛人生，首次揭曉！11歲自學微積分，17歲推翻40年難題
11歲自學掌握微積分，14歲便已達到本科水平，17歲成功破解40年未解猜想。尚未高中畢業的她，已被馬里蘭大學博士項目直接錄取。如今，這位傳奇少女夢幻的人生故事，第一次呈現在了我們面前。
一位天才少女，因為覺得在家按部就班的上學生活太過「無聊」后，就去伯克利申請了一門研究生課程。
這種聽起來像是爽文一樣的人生，確確實實發生在今年2月。
倒不是說尚未完成高中學業的青少年無法解決復雜的數學問題，但出現這種結果的可能性似乎微乎其微。
2月10日，一篇推翻Mizohata-Takeuchi猜想的論文，令數學界感到震驚、欣喜，同時也預示一顆新星正在然然升起。
它的作者，正是當時年僅17歲的漢娜·凱羅（Hannah Cairo）。
論文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.06137
數學是她逃離現實禁錮的無垠世界
漢娜的童年在巴哈馬的拿騷度過。
和兩個兄弟一樣，她在家中接受教育，父親是一位軟件工程師。
她的數學之旅始于可汗學院的在線課程，這是一條被她迅速走完的跑道。
11歲時，微積分已是她的「囊中之物」。
不久，網上現成的內容已無法滿足她。
父母為她找了兩位數學教授進行遠程輔導——先是韋爾斯利學院的Martin Magid，后是克拉克大學Amir Aazami。
但她大部分的學習仍是自我驅動的研究生級別數學教材。
漢娜回憶道，Amir Aazami后來曾說：「他感覺收我的學費都有些不好意思，因為他覺得自己并沒真正教我什么。大多數時候，都是我自己讀完書，然后嘗試去證明里面的定理。」
但漢娜覺得家庭教育讓她備受束縛。
「那是一種無法逃脫的、日復一日的單調。無論我做什么，都在同一個地方，做著幾乎同樣的事，」她說。
「我感到與世隔絕，無論做什么都無法改變。有時一覺醒來，我只感到自己又老了一歲，別無其他。」
數學成了一種慰藉，一個在她逼仄的現實生活中得以喘息的廣闊空間。
「數學是我能探索的另一個世界。一個沒有邊界、只要一思考便能隨時進入的世界，」她說。
「我就是這樣長大的，將數學視為一個可以獨自探索的思想王國。這個過程，讓我對數學的看法與眾不同。」
2021年，新冠疫情肆虐，當世界為多數人按下暫停鍵時，漢娜的世界卻開始延展。
旅行限制將她一家困在了芝加哥的祖父母家。
在此期間，她加入了「芝加哥數學圈」（Math Circles of Chicago），一個師生共同解決數學難題的社群。
這次經歷促使她在次年申請了「伯克利數學圈」為期兩周的在線暑期項目，這里曾是全球頂尖數學天才的搖籃。
在申請材料中，她列出了一長串自學課程，其內容已相當于一個數學專業的高年級本科學位。
那一年，她14歲。
「漢娜是遠超常人的非凡存在，」伯克利數學家、「伯克利數學圈」創始人Zvezdelina Stankova評價道。
「她每次申請學校或項目，都已遙遙領先了好幾個層級。」
然而，這些零星的經歷從未讓漢娜覺得自己擁有超凡的數學天賦。
她說話溫和、待人真誠而謙遜，似乎真的不確定自己的能力與他人相比究竟如何——部分原因在于，多年來，她唯一的參照系只有自己。
「成長過程中，我并不清楚自己算不算有天賦，」她說。
「我喜歡彈鋼琴，周圍人總夸我在數學和鋼琴上都很有天分。但現在回頭看，我的鋼琴水平確實在平均之上，但絕談不上出類拔萃。至于數學嘛……也就那么回事吧。」
一道華人教授留的附加題，是傳奇的開始
2023年，在伯克利數學圈度過第二個夏天后，漢娜開始思索未來。
她申請了幾所大學，雖因沒有高中學歷大多被拒，但還是收到了加州大學戴維斯分校的錄取通知。
是該提前三年開始本科生涯？還是去別處尋求機會？
Stankova鼓勵她參加伯克利的「并行招生計劃」，直接修讀由領域內頂尖學者授課的研究生課程。
漢娜采納了建議。
2023年秋，全家搬到了戴維斯市。哥哥入讀加大戴維斯分校，而父母則允許她每周二、四通勤到伯克利上課。
到了春季，她已是每周五天泡在伯克利，修讀更多課程。
她回憶，那是她生命中開始感到充滿無限可能的時期。
「我開始交朋友，一切感覺都很好，」她說。春季學期結束后，全家從戴維斯搬到了伯克利——哥哥也決定轉學至此——漢娜終于感到了安穩。
即便如此，適應過程仍在繼續。「我沒什么社交經驗，所以還需要學習如何與人相處。」
2024-2025學年伊始，漢娜在選課時，被一門名為「傅里葉限制性理論」（Fourier restriction theory）的研究生課程所吸引，它是調和分析的一個分支。
「這是當時開設的最前沿的分析學課程之一，所以我想，干嘛不試試呢？」
授課教授是張瑞祥，一位成就斐然的數學家。
他的學術道路堪稱典范：2008年國際數學奧林匹克競賽金牌得主、在北大數院拿到學士學位、普林斯頓大學博士、高等研究院博士后，隨后在全球頂尖的伯克利數學系獲得終身教職。
漢娜郵件聯系了張瑞祥，希望能加入他的課堂。「漢娜非常專注，且對這個課題充滿熱情，」他說。
「單是這種態度就足夠了，所以我很爽快地同意了。」
幾周后，在完成一份作業時，她遇到了一個讓她沉迷其中、無法自拔的問題。
這個問題是「Mizohata-Takeuchi猜想」的一個簡化版本。
張瑞祥將其作為熱身題放在作業里，意在鼓勵學生在一個艱深的領域中練習高級技巧。
作業還有一個選做題，邀請學生思考能否將簡化版的證明推廣到更復雜的情形。
漢娜完成了作業，并欣然接受了挑戰，繼續深挖下去。
對她而言，沿著一個想法的脈絡走到盡頭，是再自然不過的事。「我為什么要停下呢？」她說。
「Mizohata-Takeuchi猜想」是一個調和分析領域的問題，該領域旨在研究函數如何由各種波狀成分組合而成。
任何函數都可以被分解為一系列簡單的正弦波之和，而每個正弦波都有其頻率。
數學家們常常想理解那些只能由特定頻率的正弦波構成的函數的性質。在這些情況下，被允許的頻率必須滿足能勾勒出特定曲面（如球面）的方程。
這背后的原因在于，許多定義物理波（如光波、聲波和量子波）的函數，其頻率都受限于此類曲面。
「Mizohata-Takeuchi猜想」所考慮的，正是由頻率落在這樣一個曲面上的波所構成的函數。該猜想斷言：函數的能量（衡量函數振幅大小的指標）只能以特定的模式分布和集中。
這好比在一個形狀奇特的房間里演奏音樂。聲波有時會因回聲而放大，變得異常響亮。但這種情況的發生，必定是在房間里的某些特定位置。
幾十年來，數學家們僅在該猜想的少數特例上取得了有限進展，而其普遍形式卻始終無人能解，所有標準方法似乎都無從下手。
這種堅不可摧的特性讓一些數學家懷疑它本身就是錯的；而另一些人則認為，其表述的優雅簡潔預示著它更可能為真。
「有些早上我醒來會想，這個猜想表述如此簡潔優雅，適用范圍又如此之廣，它最終必然是真的，」研究該問題數十年的愛丁堡大學數學家Carbery說。「但另一些早上，我又會覺得……它不可能那么簡單地就成立。」
數學家們就此陷入了僵局。
在攻克任何難題的道路上，懷疑總是如影隨形。數學家們懷疑自己的方法、懷疑自己的直覺，懷疑那個當下看似前途光明的想法，最終能否站得住腳。
對漢娜而言，這些懷疑被進一步放大了。她初來乍到，早期證明完整猜想的嘗試既不成熟也不完整。
她不確定自己的方向是否正確，張瑞祥也同樣抱有疑慮。
「我跑去答疑時間問他，這些想法可行嗎？結果證明它們很愚蠢，根本行不通，」她說。
「過程就是這樣來來回回。我帶著新想法去答疑，問它們是否可行，他總是回答不行。」
漢娜沒有放棄，繼續閱讀與思考。
最終，她找到了一個方法，利用頻率均落在特定曲面上的波，構建出一個奇特而復雜的函數。通常，當這類波疊加時，它們會相互干涉，在某些地方抵消，在另一些地方增強。
但漢娜證明，在她構建的函數中，波并沒有如預期那樣抵消。
相反，它們的干涉產生了不均勻的模式，導致函數能量以一種「Mizohata-Takeuchi猜想」所禁止的分形形態，在某些區域擴散，在另一些區域集中。
她發現自己創造出了一個在許多人看來本不該存在的數學結構。
起初，她對此心存疑慮。「我經常遇到這種情況，」她說。「我得出了一個看似證明的結論，以為自己成功了，但結果發現自己其實是錯的。」
隨后，兩件事發生了。
第一，她意識到可以用一個遠為簡單的構造來替代原先復雜的構造，并得到相同的結果。
第二，她徹底說服了自己，也說服了張瑞祥——這個結果是正確的。
她的第一個學位將是博士學位
自漢娜二月發布論文以來，這份證明及其出人意料的作者，為整個數學界注入了前所未有的活力。
「我當時的反應絕對是，哇！這可是我近40年來最鐘愛的問題，我被徹底震撼了，」Carbery說。
「當我得知她比我想象的還要年輕得多時，我更是佩服得五體投地。論文行文之優雅，堪稱非凡。」
數學家們對漢娜的研究將如何啟發新方向感到興奮。
「我敢肯定，從今往后，每當我們遇到類似問題，都會嘗試用類漢娜構造來進行檢驗，」Oliveira說。
他和調和分析領域的同仁們，將不得不面對一個被徹底改變的學術格局。
在調和分析領域，存在著一系列關于波能量如何集中的核心問題。
其中一個名為「斯坦猜想（Stein’s conjecture）」的猜想如果為真，將能把該領域中一些最重要的問題聯系起來。但漢娜的工作證明了斯坦因猜想是錯誤的，從而切斷了數學家們曾寄予厚望的一條關鍵路徑。
數學界也在適應漢娜本人的存在。
完成證明后，她決定直接申請博士項目，完全跳過大學本科（和高中文憑）。
在她看來，自己早已在過著研究生的生活。
她申請了10個博士項目，6個因她沒有大學學位而拒絕了她，另有2個錄取后又被學校高層駁回。
最終，只有馬里蘭大學和約翰·霍普金斯大學愿意直接錄取她攻讀博士。
今年秋天，她將在馬里蘭大學開啟她的求學生涯。
待她畢業之時，那將是她人生中的第一個學位——博士學位。
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